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分形图形在包装装潢中的应用上

2022年04月29日 长乐市机械设备网

分形图形在包装装潢中的应用(上)

摘 要:研究分形图的三种算法并在包装CAD中运用分形理论模拟自然景物及不规则图形。

关键词:包装CAD,分形,Mandelbrot集,Julia集,L系统

目前,在包装装潢设计中常用的图形图像处理软件有 Photoshop,CorelDraw,AutoCAD等。但是,这些软件绘制的都是一些表面平滑,形状规则的几何图案。对自然景物的模拟常用交互式的方法,或是用数码相机,扫描仪等工具把图片输入计算机后在进行加工处理,这种机械的方法通常不能满足包装设计者的需求。基于这一点的考虑,本文尝试性的运用数学中的分形理论来模拟自然界中的景物和不规则的抽象图形,以达到包装设计者的要求。

分形理论描述的是不规则几何形态。它问世以来,被广泛应用到天文学,计算机图形学,气象学,哲学和艺术等诸多领域。同样,如果我们将它应用于包装设计,尤其是包装装潢设计中来必会取得意想不到的效果。分形图形根据它实现的算法不同,可以分为几种类型:自相似分形,复数分形,自然分形,随机分形等。本文仅就其中的三种算法加以讨论。

1. Mandelbrot集

由分形理论创始人Mandelbrot开发的著名图形Mandelbrot集是典型的复数分形。由于复数和平面上的点(x , y)存在一一对应的关系,我们可以把图形显示看成复平面。复平面的实轴和虚轴相当于图形中的经度和纬度,图中的每个点(x , y)都可以表示成复数x + iy 。那么,Mandelbrot集看起来就相当于这样一幅图:在经度-2.0°到+0.5°和纬度-1.25°到+1.25°间的区域是一巨大的海,它由海湾,小港湾和若干条支流组成。

实际上,Mandelbrot集中的海洋和港湾是由一个主要的心形图与一系列圆盘形状的突起连结在一起的,并且每个突起又被更细小的突起所环绕。然而,这并不是全部,还有精细的“发状”分枝从突起处向外长出。这些细发在它的每一段上都带有与整个Mandelbrot集相似的微型样本。也就是说,Mandelbrot集具有层层嵌套和无限精细的结构。但是,这样一个具有复杂结构的图形,却可以用相当简单的复数迭代方程式:Zn+1=Zn2+C来生成。按照这个公式,在复平面内取一个数z,乘上自己,再加上最初的复数c,反复迭代下去就可以得到Mandelbrot集。运行步骤如下:

(1) 分隔计算机屏幕成网格,中心在(0,0)点,x轴表示实数(从-2.0到0.5),y轴表示虚数(从-1.5到1.5)。

(2) 在网格上选一点,表示某个复数,实部由x位置表示,虚部由y位置表示,将这个复数称为c。

(3) 令复数Z0=0,迭代映射Z=Z2+C , 直到 |z→∞| ,或迭代到事先选定的迭代次数。

(4) 如果Z0=0点的轨道跑到无穷远,则用一种与迭代到无穷远点所需次数相关的颜色在屏幕上画上一点(该点相应于c的实部,虚部值)。如果Z0=0点的模值在迭代了事先给定的次数后仍很小,则认为这个c值不能迭代到无穷远点,所以将相应点涂成蓝色。

(5) 对网格上的所有点反复这个步骤。

下图就是按照此种方法绘制的Mandelbrot集。由于Mandelbrot 集具有层层嵌套和无限精细的结构,使用缩放技术把部分区域放大,可以得到完全不同的画面,图 ( a ) 和 ( b ) 就是经过放大后的图形。但它又不是原来图形的简单放大,而是表现出Mandelbrot集许多细节,如果继续放大还可以更多的细节。这个放大过程可以无限制的进行下去,到最后得到的图形和原始图形相比已经面目全非了。这种特性说明分形图形对参数非常敏感,微小参数变化都会引起图形的完全不同。若是用这种图形制作包装防伪商标,将难以复制和模仿。

(待续)

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